世界上已知的最大素數(shù)

世界上已知的最大素數(shù)

前不久，來自美國佛羅里達(dá)州的互聯(lián)網(wǎng)專家、數(shù)學(xué)愛好者帕特里克·拉羅什利用“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”(GIMPS)項目，成功發(fā)現(xiàn)了第51個梅森素數(shù)；它是目前世界上已知的最大素數(shù)——2^82589933-1，有24862048位數(shù)。如果用普通字號(指word文檔默認(rèn)的字體字號)將這一巨數(shù)打印下來，其長度將超過100公里！

素數(shù)又叫質(zhì)數(shù)，是在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)，如2、3、5、7、11等等。數(shù)論中，每個自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個素數(shù)的乘積，素數(shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數(shù)有無窮多個，并提出一些素數(shù)可寫成“2^P-1”（即2的P次方減1，其中指數(shù)P也是素數(shù)）的形式，如2^2-1(=3）、2^3-1(=7)、2^5-1(=31）、2^7-1(=127)、2^13-1（=8191）等。

由于2^P-1型的素數(shù)具有獨特數(shù)學(xué)性質(zhì)，千百年來許多著名數(shù)學(xué)家以及無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對它情有獨鐘。17 世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森是他們中最杰出的探究者。由于他學(xué)識淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究2^P-1型素數(shù)，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界將這種特殊形式的素數(shù)命名為“梅森素數(shù)”。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)51個梅森素數(shù)；這種素數(shù)珍奇而迷人，因而被人們譽(yù)為“數(shù)學(xué)寶庫中的鉆石”。

梅森素數(shù)貌似簡單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大；此外，它的探究需要高深的理論和純熟的技巧，以及艱巨的計算。例如：1772年，瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個素數(shù)；該數(shù)有10位（2147483647），堪稱當(dāng)時世界上已知的最大素數(shù)。在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，一共才找到12個梅森素數(shù)。

電子計算機(jī)的誕生，尤其是互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)，大大加快了探究梅森素數(shù)的步伐。1996年初，美國數(shù)學(xué)家、程序設(shè)計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數(shù)計算程序，并把它放在網(wǎng)頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全球首個基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計算項目。網(wǎng)格計算就是通過利用大量異構(gòu)計算機(jī)的未用資源，為解決大規(guī)模的計算問題提供一個新的模型。

現(xiàn)在只要人們?nèi)IMPS的主頁下載一個名為“Prime95”免費程序，就可以立即參加GIMPS項目來搜尋梅森素數(shù)了。目前，世界上有200多個國家和地區(qū)近25萬在線網(wǎng)民參與GIMPS項目，并動用了超過247萬核的中央處理器(CPU)聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。可見，梅森素數(shù)的探究非常火爆；這在數(shù)學(xué)史上前所未有，在科學(xué)史上也極為罕見。

特別值得一提的是，在梅森素數(shù)的素性判斷方面，法國數(shù)學(xué)家愛德華·魯卡斯和美國數(shù)學(xué)家德里克·雷默都做出了重要貢獻(xiàn)；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數(shù)素性的最佳方法。在梅森素數(shù)分布研究方面，中國數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中在1992年給出了梅森素數(shù)分布的精確表達(dá)式；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

從古至今，幾乎所有的“最大素數(shù)”都是梅森素數(shù)。由于梅森素數(shù)的探究在當(dāng)代需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認(rèn)為：梅森素數(shù)的探究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)家馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為：梅森素數(shù)的探究可以挑戰(zhàn)人類科技與智慧極限，其成果是一個國家科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志之一。因此，梅森素數(shù)的探究還會繼續(xù)下去，直到永遠(yuǎn)。

文/曾浩(作者單位：瑞士蘇黎世大學(xué)理學(xué)院)

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